关系，关系模式，关系数据库#
关系#
一些数学上的概念的回忆，和在数据库系统内的含义
DomainCartesian ProductRelation： \(R_n\)- \(R\): 关系名
- \(n\): 关系的目/度
Attribute属性: 每一列的名字，比如学号、分数… 属性数=目数
Tuple元组: 集合中的一个元素Component分量：元素中的一个值
码#
候选码#
- 若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，而其子集不能，则称该属性组为候选码。
- 简单情况：候选码只包含一个属性。
- 最极端情况：关系模式的所有属性组是候选码，称为全码（All-key）。
主码#
若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码。
主属性与非主属性#
- 候选码的所有目的属性属性称为主属性（Prime Attribute）。
- 不包含在任何候选码中的属性称为非主属性（Non-Prime Attribute）或非码属性（Non-key Attribute）。
关系的类别#
1. 基本关系（基本表或基表）#
- 定义：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示。
- 例子：
学生表（
Students）：学号 姓名 年龄 性别 系名 202001 张三 20 男 计算机科学 202002 李四 21 女 数学 202003 王五 22 男 物理 课程表（
Courses）：课程号 课程名 学分 C 001 数据库 3 C 002 高等数学 4 C 003 英语 2
2. 查询表#
- 定义：查询结果对应的表。
- 例子：
查询“计算机科学系的学生”：
学号 姓名 年龄 性别 系名 202001 张三 20 男 计算机科学 查询“学分大于 3 的课程”：
课程号 课程名 学分 C 002 高等数学 4
3. 视图表#
- 定义：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据。
- 例子：
创建一个视图“计算机科学系学生选课情况”：
CREATE VIEW CS_Students_Courses AS SELECT Students.学号, Students.姓名, Courses.课程名 FROM Students, Courses WHERE Students.系名 = '计算机科学';- 查询视图：
学号 姓名 课程名 202001 张三 数据库
- 查询视图：
基本关系的性质#
1. 列是同质的（Homogeneous）#
- 每一列中的分量（即单元格中的值）是同一类型的数据，来自同一个域。
- 例子：在“学生表”中，“年龄”列的所有值都是整数类型，来自“年龄”这一数据域。
2. 不同的列可出自同一个域#
- 虽然每列的数据类型相同，但它们代表不同的属性。
- 例子：在“学生表”中，“年龄”列和“学分”列都来自整数域，但分别代表学生的年龄和课程学分。
3. 每一列称为一个属性#
- 属性是关系模型中列的术语，代表某种特征或数据项。
- 例子：在“学生表”中，“姓名”、“年龄”、“性别”等都是属性。
4. 不同的属性要给予不同的属性名#
- 不能有两个列都叫“姓名”，必须分别命名为“中文姓名”和“英文姓名”（if needed）。
5. 行、列的顺序无所谓#
- 将“学生表”中的“姓名”列和“年龄”列对调，表的内容和含义不变。
- 将“学生表”中的第一行和第二行对调，表的内容和含义不变。
6. 任意两个元组的候选码不能相同#
- 在“学生表”中，“学号”是候选码，每个学生的学号必须唯一。
7. 分量必须取原子值#
- 每个分量（单元格中的值）必须是不可再分的最小数据单位（例如一个整数或字符串）。
- 例子：在“学生表”中，“姓名”列的值必须是单个名字，不能是一个名字列表。
关系模式#
1. 定义#
- 关系模式是“型”，关系是“值”。关系模式是对关系的描述。
- 内容包括：
- 元组集合的结构
- 属性构成
- 属性来自的域
- 属性与域之间的映射关系
- 完整性约束条件
- 元组集合的结构
2. 关系模式的形式化表示#
关系模式可以形式化地表示为：\(R(U, D, DOM, F)\)
- \(R\)：关系名
- \(U\)：组成该关系的属性名集合
- \(D\)：\(U\) 中属性所来自的域
- \(DOM\)：属性向域的映射集合
- \(F\)：属性间数据的依赖关系集合
- 简化表示：
- 关系模式通常可以简记为 \(R(U)\) 或 \(R(A_1, A_2, \dots, A_n)\)。
- \(R\)：关系名。
- \(A_1, A_2, \dots, A_n\)：属性名。
- 域名及属性向域的映射通常直接说明为属性的类型和长度。
- 关系模式通常可以简记为 \(R(U)\) 或 \(R(A_1, A_2, \dots, A_n)\)。
3. 关系模式与关系的区别#
- 关系模式：对关系的描述，是静态的、稳定的。
- 关系：关系模式在某一时刻的状态或内容，是动态的、随时间不断变化的。
- 说明：
- 关系模式和关系在日常讨论中常笼统称为“关系”，需通过上下文加以区别。
关系数据库#
- 定义：在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库。
- 关系数据库的“型”与“值”
- 型：关系数据库模式，是对关系数据库的描述。
- 值：关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库。
关系的完整性#
关系间的引用#
- 定义：在关系模型中，实体及实体间的联系都用关系描述，自然存在关系间的引用。
- 例子：
- 学生与专业：
- 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
- 专业（专业号，专业名）
- 学生关系引用了专业关系的主码“专业号”。
- 学生、课程与选修：
- 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
- 课程（课程号，课程名，学分）
- 选修（学号，课程号，成绩）
- 选修关系引用了学生关系的主码“学号”和课程关系的主码“课程号”。
- 学生内部的领导联系：
- 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长【指的是这个学生所在班级的班长】）
- 学生关系引用自身的主码“学号”来表示班长关系。
- 学生与专业：
外码#
定义#
- 设 \(F\) 是基本关系 \(R\) 的一个或一组属性，但不是关系 \(R\) 的码。如果 \(F\) 与基本关系 \(S\) 的主码 \(K_S\) 相对应，则称 \(F\) 是 \(R\) 的外码（Foreign Key）, 在这种情况下：
- 基本关系 \(R\) 被称作参照关系（Referencing Relation）
- 基本关系 \(S\) 被称作被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）：。
- 说明：
- 关系 \(R\) 和 \(S\) 不一定是不同的关系。
- 目标关系 \(S\) 的主码 \(K_S\) 和参照关系的外码 \(F\) 必须定义在同一个（或一组）域上。
- 外码并不一定要与相应的主码同名。当外码与相应的主码属于不同关系时，通常取相同的名字以便于识别。
例子#
学生与专业：
- 学生关系：
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
其中，“专业号”是学生关系的外码。 - 专业关系：
专业（专业号，专业名）
其中，“专业号”是专业关系的主码。 专业关系是被参照关系，学生关系是参照关系。
- 学生关系：
选修关系：
- 选修关系：
选修（学号，课程号，成绩）
其中，“学号”、“课程号”（之一，不是合起来）是选修关系的外码。 - 学生关系：
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
其中，“学号”是学生关系的主码。 - 课程关系：
课程（课程号，课程名，学分）
其中，“课程号”是课程关系的主码。 学生关系和课程关系是被参照关系，选修关系是参照关系。
- 选修关系：
学生内部的领导联系：
- 学生关系：
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
其中，“班长”是外码，引用了学生关系自身的主码“学号”。 - 学生关系既是参照关系，也是被参照关系。
- 学生关系：
关系的三类完整性约束#
1. 实体完整性 Entity Integrity#
若属性 A 是基本关系 R 的主属性，则属性 A 不能取空值（表示“不知道”、“不存在”或“无意义”的值）。
- 例子：
- 关系模式：
选修（学号，课程号，成绩） - 主码为“学号、课程号”，这两个属性均不能取空值
- 关系模式：
- 实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
- 现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。
- 关系模型中以主码作为唯一性标识。
- 主码中的属性即主属性不能取空值。
- 主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第 2 点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性。
2. 参照完整性#
- 若属性（或属性组）\(F\) 是基本关系 \(R\) 的外码，它与基本关系 S 的主码 \(K_S\) 相对应（基本关系 \(R\) 和 \(S\) 不一定是不同的关系），则对于 \(R\) 中每个元组在 \(F\) 上的值必须为下面两种情况之一
- 取空值（\(F\) 的每个属性值均为空值），代表 \(R\) 中的这个条目目前还不需要这个属性
- 等于 \(S\) 中某个元组的主码值，代表这个条目的属性必须要是有意义的（在 \(S\) 中存在）
当然如果 \(F\) 也是 \(R\) 的主码，那就不能取空值了，只能是第二种情况。
用户定义的完整性#
- 针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。
- 关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用程序承担这一功能。
示例：课程（课程号，课程名，学分）
- “课程号”属性必须取唯一值。
- 非主属性“课程名”也不能取空值。
- “学分”属性只能取值 \({1, 2, 3, 4}\)。
关系操作与关系代数#
关系代数#
operand是关系，计算结果也是关系- 关系是集合，所以关系代数是集合的操作
operand有两类- 集合运算符：只从行的角度进行，行很行操作产生新的行
- 专门的关系运算符：不仅涉及行，还涉及列
运算必须要有意义。
使用的记号#
规定只使用关系模式的结构 中的两样东西：关系名 和 属性名元组，也就是 $$ R(A_1, A_2, \ldots, A_n) $$ 这个关系模式中：
关系： \(R\) 表示一个关系实例。
元组： \(t \in R\) 表示 t 是 R 的一个元组
分量：\(t[A_i]\) 表示元组 t 中属于属性 \(A_i\) 的一个分量
属性列/属性组：设 \(A={A_{i1}, A_{i2}, \ldots, A_{ik}}\), 其中的每一个元素都是 R 的属性，则 \(A\) 是属性列或属性组， \(\overline{A}\) 表示所有属性去掉 A 后的剩余属性组
连接：
- \(t_r \in R\)，\(t_s \in S\)，\(\overset{\frown}{t_r t_s}\) 称为元组的连接。
- \(\overset{\frown}{t_r t_s}\) 是一个 n + m 列的元组，前 n 个分量为 R 中的一个 n 元组，后 m 个分量为 S 中的一个 m 元组。
象集： 给定一个关系 R（X，Z），X 和 Z 为属性组。
- 当 \(t[X] = x\) 时，x 在 R 中的象集（Images Set）为：
- \(Z_x = {t[Z] \mid t \in R, t[X] = x}\)
- 它表示 R 中属性组 X 上值为 x 的诸元组在 Z 上分量的集合。
- 当 \(t[X] = x\) 时，x 在 R 中的象集（Images Set）为：
关系操作#
1. 并#
\(R \cup S\)
- 两个关系目数必须同
- 每目属性相同，对应的属性应取自同一个域
- 仍为 n 目关系，由属于 R或属于 S 的元组组成
2. 差#
- 和 并 一样，目数、属性有要求，不然运算没有意义
- 仍为 n 目关系，由属于 R 而不属于 S 的所有元组组成
3. 交 Intersection#
- 和前面一样，…
- 仍为 n 目关系，由既属于 R 又属于 S 的元组组成
4. 笛卡尔积#
严格地讲应该是广义的 (Extended) 笛卡尔积
5. 选择#
在关系 R 中选择满足给定条件的诸元组： $$ \sigma_F(R) = {t \mid t \in R \land F(t) = \text{true}} $$
F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”。
基本形式为：\(X_1
\thetaY_1\)，其中：- \(\theta\) 表示比较运算符，可以是 \(>\)，\(\geq\)，\(<\)，\(\leq\)，\(=\) 或 \(\neq\)。
在基本的选择条件上可以进一步进行逻辑运算（与、或、非）。
选择运算是从关系 R 中选取使逻辑表达式 F 为真的元组，是从行的角度进行的运算.
6. 投影#
- 从关系 R 中选择若干属性列 组成新的关系： $$ \pi_A(R) = { t[A] \mid t \in R } $$
- A：R 中的属性列。
- 投影操作主要是从列的角度进行运算。
- 投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）。
7. 连接#
连接（Join）也称为 θ连接。
连接运算的含义#
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组： $$ R \bowtie_{AθB} S = { \overset{\frown}{t_r t_s} \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] \theta t_s[B] } $$
- A 和 B：分别为 R 和 S 上度数相等且可比的属性组。
- θ：比较运算符。
连接运算从 R 和 S 的广义笛卡尔积 \(R \times S\) 中选取 R 关系在 A 属性组上的值与 S 关系在 B 属性组上的值满足比较关系 \(theta\) 的元组。
等值连接（Equijoin）#
当 θ 为“=”的连接运算称为等值连接。从关系 R 与 S 的广义笛卡尔积中选取 A、B 属性值相等的那些元组，即： $$ R \bowtie S = { \overset{\frown}{t_r t_s} \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] = t_s[B] } $$
自然连接（Natural Join）#
一种特殊的等值连接。
条件：
- 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组。
- 在结果中把重复的属性列去掉。
自然连接的含义：
- R 和 S 具有相同的属性组 B： $$ R \bowtie S = { t_r \overset{\frown}{t_s}[U-B] \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[B] = t_s[B] } $$
一般的连接操作从行的角度进行运算。 自然连接需要取消重复列，因此是同时从行和列的角度进行运算。
外连接#
悬浮元组（Dangling tuple）#
在两个关系 R 和 S 进行自然连接时，关系 R 中某些元组可能在 S 中不存在公共属性上值相等的元组，从而导致这些元组在操作时被舍弃。这些被舍弃的元组称为悬浮元组。 如上面例子中的 (a2, b4, 12)
外连接（Outer Join）#
如果在结果关系中保留悬浮元组，并在其他属性上填充空值（Null），这种操作外连接。
左外连接 (LEFT OUTER JOIN 或 LEFT JOIN)
- 只保留左边关系 R 中的悬浮元组。
右外连接 (RIGHT OUTER JOIN 或 RIGHT JOIN)
- 只保留右边关系 S 中的悬浮元组。
8. 除运算（Division）#
给定关系 \(R (X, Y)\) 和 \(S (Y, Z)\)，其中 X、Y、Z 为属性组。
R 中的 Y 与 S 中的 Y 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R 与 S 的除运算得到一个新的关系 \(P (X)\)，P 是 R 中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
- 元组在 X 上的分量值 x 的象集 \(Y_x\) 包含 S 在 Y 上投影的集合，记作： $$ R \div S = { t_r[X] \mid t_r \in R \land \pi_Y(S) \subseteq Y_x } $$ 其中，\(Y_x\) 是 x 在 R 中的象集，且 \(x = t_r[X]\)。
