第2章：关系数据库

关系，关系模式，关系数据库

关系

一些数学上的概念的回忆，和在数据库系统内的含义

Domain
Cartesian Product
- Relation： $R_n$ $R_{n}$
  - $R$ : 关系名
  - $n$ : 关系的目/度
  - Attribute 属性: 每一列的名字，比如学号、分数… 属性数=目数
Tuple 元组: 集合中的一个元素
Component 分量：元素中的一个值

码

候选码

若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，而其子集不能，则称该属性组为候选码。
简单情况：候选码只包含一个属性。
最极端情况：关系模式的所有属性组是候选码，称为全码（All-key）。

主码

若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码。

主属性与非主属性

候选码的所有目的属性属性称为主属性（Prime Attribute）。
不包含在任何候选码中的属性称为非主属性（Non-Prime Attribute）或非码属性（Non-key Attribute）。

关系的类别

1. 基本关系（基本表或基表）

定义：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示。
例子：
- 学生表（Students）：
  
  学号姓名年龄性别系名
  202001 张三 20 男计算机科学
  202002 李四 21 女数学
  202003 王五 22 男物理
- 课程表（Courses）：
  
  课程号课程名学分
  C 001 数据库 3
  C 002 高等数学 4
  C 003 英语 2

学号	姓名	年龄	性别	系名
202001	张三	20	男	计算机科学
202002	李四	21	女	数学
202003	王五	22	男	物理

课程号	课程名	学分
C 001	数据库	3
C 002	高等数学	4
C 003	英语	2

2. 查询表

定义：查询结果对应的表。
例子：
- 查询“计算机科学系的学生”：
  
  学号姓名年龄性别系名
  202001 张三 20 男计算机科学
- 查询“学分大于 3 的课程”：
  
  课程号课程名学分
  C 002 高等数学 4

学号	姓名	年龄	性别	系名
202001	张三	20	男	计算机科学

课程号	课程名	学分
C 002	高等数学	4

3. 视图表

定义：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据。

例子：

创建一个视图“计算机科学系学生选课情况”：


CREATE VIEW CS_Students_Courses AS

SELECT Students.学号, Students.姓名, Courses.课程名

FROM Students, Courses

WHERE Students.系名 = '计算机科学';

查询视图：

学号姓名课程名
202001 张三数据库

学号	姓名	课程名
202001	张三	数据库

基本关系的性质

1. 列是同质的（Homogeneous）

每一列中的分量（即单元格中的值）是同一类型的数据，来自同一个域。
例子：在“学生表”中，“年龄”列的所有值都是整数类型，来自“年龄”这一数据域。

2. 不同的列可出自同一个域

虽然每列的数据类型相同，但它们代表不同的属性。
例子：在“学生表”中，“年龄”列和“学分”列都来自整数域，但分别代表学生的年龄和课程学分。

3. 每一列称为一个属性

属性是关系模型中列的术语，代表某种特征或数据项。
例子：在“学生表”中，“姓名”、“年龄”、“性别”等都是属性。

4. 不同的属性要给予不同的属性名

不能有两个列都叫“姓名”，必须分别命名为“中文姓名”和“英文姓名”（if needed）。

5. 行、列的顺序无所谓

将“学生表”中的“姓名”列和“年龄”列对调，表的内容和含义不变。
将“学生表”中的第一行和第二行对调，表的内容和含义不变。

6. 任意两个元组的候选码不能相同

在“学生表”中，“学号”是候选码，每个学生的学号必须唯一。

7. 分量必须取原子值

每个分量（单元格中的值）必须是不可再分的最小数据单位（例如一个整数或字符串）。
例子：在“学生表”中，“姓名”列的值必须是单个名字，不能是一个名字列表。

关系模式

1. 定义

关系模式是“型”，关系是“值”。关系模式是对关系的描述。
内容包括：
1. 元组集合的结构
  - 属性构成
  - 属性来自的域
  - 属性与域之间的映射关系
2. 完整性约束条件

2. 关系模式的形式化表示

关系模式可以形式化地表示为： $R(U, D, DOM, F)$

$R$ ：关系名
$U$ ：组成该关系的属性名集合
$D$ ： $U$ 中属性所来自的域
$DOM$ ：属性向域的映射集合
$F$ ：属性间数据的依赖关系集合
简化表示：
- 关系模式通常可以简记为 $R(U)$ $R (U)$ 或 $R(A_1, A_2, \dots, A_n)$ $R (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n})$ 。
  - $R$ ：关系名。
  - $A_1, A_2, \dots, A_n$ ：属性名。
  - 域名及属性向域的映射通常直接说明为属性的类型和长度。

3. 关系模式与关系的区别

关系模式：对关系的描述，是静态的、稳定的。
关系：关系模式在某一时刻的状态或内容，是动态的、随时间不断变化的。
说明：
- 关系模式和关系在日常讨论中常笼统称为“关系”，需通过上下文加以区别。

关系数据库

定义：在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库。
关系数据库的“型”与“值”
- 型：关系数据库模式，是对关系数据库的描述。
- 值：关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库。

关系的完整性

关系间的引用

定义：在关系模型中，实体及实体间的联系都用关系描述，自然存在关系间的引用。
例子：
1. 学生与专业：
  - 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
  - 专业（专业号，专业名）
  - 学生关系引用了专业关系的主码“专业号”。
2. 学生、课程与选修：
  - 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
  - 课程（课程号，课程名，学分）
  - 选修（学号，课程号，成绩）
  - 选修关系引用了学生关系的主码“学号”和课程关系的主码“课程号”。
3. 学生内部的领导联系：
  - 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长【指的是这个学生所在班级的班长】）
  - 学生关系引用自身的主码“学号”来表示班长关系。

外码

定义

设 $F$ 是基本关系 $R$ 的一个或一组属性，但不是关系 $R$ 的码。如果 $F$ 与基本关系 $S$ 的主码 $K_S$ 相对应，则称 $F$ 是 $R$ 的外码（Foreign Key）, 在这种情况下：
基本关系 $R$ 被称作参照关系（Referencing Relation）
基本关系 $S$ 被称作被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）：。
说明：
- 关系 $R$ 和 $S$ 不一定是不同的关系。
- 目标关系 $S$ 的主码 $K_S$ 和参照关系的外码 $F$ 必须定义在同一个（或一组）域上。
- 外码并不一定要与相应的主码同名。当外码与相应的主码属于不同关系时，通常取相同的名字以便于识别。

例子

学生与专业：
- 学生关系：学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
  其中，“专业号”是学生关系的外码。
- 专业关系：专业（专业号，专业名）
  其中，“专业号”是专业关系的主码。专业关系是被参照关系，学生关系是参照关系。
选修关系：
- 选修关系：选修（学号，课程号，成绩）
  其中，“学号”、“课程号”（之一，不是合起来）是选修关系的外码。
- 学生关系：学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
  其中，“学号”是学生关系的主码。
- 课程关系：课程（课程号，课程名，学分）
  其中，“课程号”是课程关系的主码。学生关系和课程关系是被参照关系，选修关系是参照关系。
学生内部的领导联系：
- 学生关系：学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
  其中，“班长”是外码，引用了学生关系自身的主码“学号”。
- 学生关系既是参照关系，也是被参照关系。

关系的三类完整性约束

1. 实体完整性 `Entity Integrity`

若属性 A 是基本关系 R 的主属性，则属性 A 不能取空值（表示“不知道”、“不存在”或“无意义”的值）。

例子：
- 关系模式：选修（学号，课程号，成绩）
- 主码为“学号、课程号”，这两个属性均不能取空值

实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。
关系模型中以主码作为唯一性标识。
主码中的属性即主属性不能取空值。
- 主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第 2 点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性。

2. 参照完整性

若属性（或属性组） $F$ $F$ 是基本关系 $R$ $R$ 的外码，它与基本关系 S 的主码 $K_S$ $K_{S}$ 相对应（基本关系 $R$ $R$ 和 $S$ $S$ 不一定是不同的关系），则对于 $R$ $R$ 中每个元组在 $F$ $F$ 上的值必须为下面两种情况之一
1. 取空值（ $F$ 的每个属性值均为空值），代表 $R$ 中的这个条目目前还不需要这个属性
2. 等于 $S$ 中某个元组的主码值，代表这个条目的属性必须要是有意义的（在 $S$ 中存在）

当然如果 $F$ 也是 $R$ 的主码，那就不能取空值了，只能是第二种情况。

用户定义的完整性

针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。
关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用程序承担这一功能。

示例：课程（课程号，课程名，学分）

“课程号”属性必须取唯一值。
非主属性“课程名”也不能取空值。
“学分”属性只能取值 $\{1, 2, 3, 4\}$ 。

关系操作与关系代数

关系代数

operand 是关系，计算结果也是关系
- 关系是集合，所以关系代数是集合的操作
operand有两类
- 集合运算符：只从行的角度进行，行很行操作产生新的行
- 专门的关系运算符：不仅涉及行，还涉及列

运算必须要有意义。

使用的记号

规定只使用关系模式的结构中的两样东西：关系名和属性名元组，也就是

R(A_1, A_2, \ldots, A_n)

这个关系模式中：

关系： $R$ 表示一个关系实例。
元组： $t \in R$ 表示 t 是 R 的一个元组
分量： $t[A_i]$ 表示元组 t 中属于属性 $A_i$ 的一个分量
属性列/属性组：设 $A=\{A_{i1}, A_{i2}, \ldots, A_{ik}\}$ , 其中的每一个元素都是 R 的属性，则 $A$ 是属性列或属性组， $\overline{A}$ 表示所有属性去掉 A 后的剩余属性组
连接：
- $t_r \in R$ ， $t_s \in S$ ， $\overset{\frown}{t_r t_s}$ 称为元组的连接。
- $\overset{\frown}{t_r t_s}$ 是一个 n + m 列的元组，前 n 个分量为 R 中的一个 n 元组，后 m 个分量为 S 中的一个 m 元组。
象集：给定一个关系 R（X，Z），X 和 Z 为属性组。
- 当 $t[X] = x$ $t [X] = x$ 时，x 在 R 中的象集（Images Set）为：
  - $Z_x = \{t[Z] \mid t \in R, t[X] = x\}$
- 它表示 R 中属性组 X 上值为 x 的诸元组在 Z 上分量的集合。

关系操作

1. 并

$R \cup S$

两个关系目数必须同
每目属性相同，对应的属性应取自同一个域
仍为 n 目关系，由属于 R或属于 S 的元组组成

2. 差

和并一样，目数、属性有要求，不然运算没有意义
仍为 n 目关系，由属于 R 而不属于 S 的所有元组组成

3. 交 `Intersection`

和前面一样，...
仍为 n 目关系，由既属于 R 又属于 S 的元组组成

4. 笛卡尔积

严格地讲应该是广义的 (Extended) 笛卡尔积

5. 选择

在关系 R 中选择满足给定条件的诸元组：
$\sigma_F(R) = \{t \mid t \in R \land F(t) = \text{true}\}$
F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”。
基本形式为： $X_1 ~\theta~ Y_1$ ，其中：
- $\theta$ 表示比较运算符，可以是 $>$ ， $\geq$ ， $<$ ， $\leq$ ， $=$ 或 $\neq$ 。
在基本的选择条件上可以进一步进行逻辑运算（与、或、非）。
选择运算是从关系 R 中选取使逻辑表达式 F 为真的元组，是从行的角度进行的运算.

6. 投影

从关系 R 中选择若干属性列组成新的关系： $\pi_A(R) = \{ t[A] \mid t \in R \}$
A：R 中的属性列。
投影操作主要是从列的角度进行运算。
投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）。

7. 连接

连接（Join）也称为 θ连接。

连接运算的含义

从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组：

R \bowtie_{AθB} S = \{ \overset{\frown}{t_r t_s} \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] \theta t_s[B] \}

A 和 B：分别为 R 和 S 上度数相等且可比的属性组。
θ：比较运算符。

连接运算从 R 和 S 的广义笛卡尔积 $R \times S$ 中选取 R 关系在 A 属性组上的值与 S 关系在 B 属性组上的值满足比较关系 $theta$ 的元组。

等值连接（Equijoin）

当 θ 为“=”的连接运算称为等值连接。从关系 R 与 S 的广义笛卡尔积中选取 A、B 属性值相等的那些元组，即：

R \bowtie S = \{ \overset{\frown}{t_r t_s} \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] = t_s[B] \}

自然连接（Natural Join）

一种特殊的等值连接。

条件：
- 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组。
- 在结果中把重复的属性列去掉。
自然连接的含义：
- R 和 S 具有相同的属性组 B： $R \bowtie S = \{ t_r \overset{\frown}{t_s}[U-B] \mid t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[B] = t_s[B] \}$

一般的连接操作从行的角度进行运算。自然连接需要取消重复列，因此是同时从行和列的角度进行运算。

外连接

悬浮元组（Dangling tuple）

在两个关系 R 和 S 进行自然连接时，关系 R 中某些元组可能在 S 中不存在公共属性上值相等的元组，从而导致这些元组在操作时被舍弃。这些被舍弃的元组称为悬浮元组。如上面例子中的 (a2, b4, 12)

外连接（Outer Join）

如果在结果关系中保留悬浮元组，并在其他属性上填充空值（Null），这种操作外连接。

左外连接 (LEFT OUTER JOIN 或 LEFT JOIN)
- 只保留左边关系 R 中的悬浮元组。
右外连接 (RIGHT OUTER JOIN 或 RIGHT JOIN)
- 只保留右边关系 S 中的悬浮元组。

8. 除运算（Division）

给定关系 $R (X, Y)$ 和 $S (Y, Z)$ ，其中 X、Y、Z 为属性组。

R 中的 Y 与 S 中的 Y 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R 与 S 的除运算得到一个新的关系 $P (X)$ ，P 是 R 中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
- 元组在 X 上的分量值 x 的象集 $Y_x$ 包含 S 在 Y 上投影的集合，记作： $R \div S = \{ t_r[X] \mid t_r \in R \land \pi_Y(S) \subseteq Y_x \}$ 其中， $Y_x$ 是 x 在 R 中的象集，且 $x = t_r[X]$ 。